II. Простейшие случаи движения твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается Параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

Теорема.При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по к одинаковым и параллельным траекториям и имеют в каждый данный момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим движение отрезка прямой AB, проведенного в теле, совершающем поступательное движение (рис. 6, а). Из определения поступательного движения следует, что в каждый данный момент времени отрезок AB, занимающий последовательно положения A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃ и т. д., остается параллельным своему первоначальному положению. Учитывая это и то, что AB = A₁B₁ = A₂B₂ = A₃B₃, делаем вывод, что ломаные линии AA₁A₂A₃ и BB₁B₂B₃ параллельны и при наложении совпадут всеми своими точками. При бесконечном уменьшении промежутков времени между рассматриваемыми положениями отрезка мы видим, что точка A и точка B описывают одинаковые кривые, т. е. кривые, совпадающие при наложении.

Рис. 6

Для доказательства второй части теоремы заметим, что

Возьмем производные по времени от левой и правой частей

Так как

Тогда

Разобранная теорема позволяет сделать вывод, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 6, б) вокруг оси, проходящей через две неподвижные точки O и O₁. Приведем через ось OO₁ неподвижную полуплоскость M и движущуюся вместе с телом полуплоскость N. Вращение тела будет определяться величиной двугранного угла φ между полуплоскостями M и N. Угол φ называется углом поворота. Условимся считать за положительное направление вращения for случаи, когда, смотря с заданного направления оси вращения, увеличение угла поворота наблюдается в сторону, противоположную движению часовой стрелки

При вращении угол поворота φ изменяется в зависимостей от времени. Равенство:

является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени. Угол φ в равенстве (30) выражается в радианах.

Предположим, что вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением из которого можно в момент времени t найти φ. Пусть через промежуток времени Δt после момента времени t угол φ изменится на Δφ.

Отношение приращения угла поворота Δφ к промежутку времени Δе, за который произошло это приращение, называется средней угловой скоростью

Переходя к пределу при можем записать

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной от угла поворота по времени. Угловая скорость измеряется в рад/с и может быть как положительной, так и отрицательной. Угловая скорость со положительна, если в данный момент вращение происходит против движения часовой стрелки, и отрицательна - в противоположном случае.

Зная зависимость угловой скорости со от времени t, можно определить ее среднее приращение за единицу времени

Отношение приращения угловой скорости к приращению времени называется средним угловым ускорением. Переходя к пределу при , записываем

Итак, Узловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/с.

Угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить в виде векторов. Вектор угловой скорости направлен по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела в данный момент времени видно против хода часовой стрелки. По модулю этот вектор равен абсолютному значению В качестве точки приложения вектора угловой скорости со может быть принята любая точка (вектор со есть вектор скользящий).

Вектор углового ускорения также лежит на оси вращения, совпадает по направлению с вектором угловой скорости в случае ускоренного вращения (рис. 7, а) и направлен в противоположную сторону при замедленном вращении.

Рис. 7

Возьмем в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси, некоторую точку M, находящуюся на расстоянии R от оси вращения. При вращении тела точка M движется по окружности радиуса R (рис. 7, б). Поэтому при повороте тела на угол φ точка M окажется на расстоянии s = Rφ от своего начального положения. Дифференцируя это равенство по времени, получим

Таким образом,

т. е. скорость любой точки вращающегося тела равна произведению расстояния от точки до оси вращения на угловую скорость. Так как скорость направлена по касательной к окружности, по которой движется точка M, а касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то вектор, скорости любой точки вращающегося тела направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через точку M и ось вращения. Ускорение точки M складывается из касательной и нормальной составляющих. Касательная составляющая ускорения направлена по одной прямой со скоростью и в ту же сторону, что и скорость, если движение ускоренное, и в противоположную сторону, если движение замедленное. По формулам (21), (34) и (35) ,

Нормальная составляющая ускорения направлена от точкой M к оси вращения. Так как радиус кривизны в данном случае равен радиусу окружности, которую описывает точка, то по формулам (22) и (25)

Касательное и нормальное ускорения точки вращающегося тела называются иначе вращательным и центростремительным ускорениями.

Модуль полного ускорения на основании формулы (23) будет равен:

Угол α, который вектор полного ускорения образует с радиусом R, определяется равенством:

Проведем из произвольной точки O на оси вращения радиус-вектор в рассматриваемую точку M тела (рис. 8, а).

Рис. 8

Тогда

поэтому

где символом обозначено векторное произведение вектор а угловой скорости со и радиуса-вектора . Вектор перпендикулярен к плоскости, проходящей через точку M и ось вращения, и направлен в сторону вращения тела. Поэтому он совпадает с вектором скорости как по величине, так и по (направлению. Таким образом,

А так как

то

или

Легко показать, что вектор направлен по касательной к траектории точки в одну сторону со скоростью, если вращение ускоренное, и в противоположную сторону, если оно замедленное, а вектор направлен по радиусу к оси вращения. Поэтому первый из них есть вектор вращательного, а второй - центростремительного ускорения точки:

Пример 4. Шестерня t (рис. 8, б) вращается вокруг оси, проходящей через точку O₁, по закону (φ, рад; t, c) и приводит во вращение вокруг оси, преходящей через точку O₂, шестерню 2. На одной,оси с шестерней 2 укреплена жестко связанная с ней шестерня 3. Определить скорость и ускорение точки, находящейся на ободе шестерни 3, при t = 1 с; R = 40 см; R₂ = 10 см; R₃ = 15 см.

Решение. Находим угловую скорость шестерни 1

В точке А

Следовательно,

Очевидно, что

Находим угловое ускорение шестерне 3

Для t = 1 с

Тогда