![]() |
![]() |
||
![]() |
I. Кинематика точки1. Способы задания движения точки
Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным. При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис. 1, а). ![]() Рис. 1 На этой траектории выбирается некоторая точка О, принимаемая за начало отсчета. Выбираются положительное и отрицательное (направления отсчета дуговой координаты s, определяющей положение точки на траектории. При движении точки расстояние s будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую координату s как функцию времени: ![]() Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.
Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции
При векторном способе задания движения точки положение точки M определяется величиной и направлением радиуса-вектора ![]() Это равенство называется векторным уравнением движения точки. ![]() Рис. 2 При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2, а). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты x, y, z как функции времени: ![]() Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Движение точки в плоскости определяется двумя уравнениями системы (3), прямолинейное движение - одним. Между тремя описанными способами задания движения существует взаимная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от координатного способа задания движения к векторному. Положим, что движение точки задано в виде уравнений (3). Имея в виду, что ![]() и ![]() можно записать ![]() А это и есть уравнение вида (2).
Пример 1. Составить уравнения движения и определить траекторию точки M шатуна кривощипно-шатунного механизма (рис. 2, б), если Решение. Как видно из рис. 2, б, уравнения, определяющие координаты точки M, можно записать в виде ![]() или ![]() Определить уравнение траектории - значит исключить из уравнений движения время t. С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения: ![]() Возводя в квадрат и складывая левые и правые части, подучим уравнение траектории в виде ![]() Следовательно, точка движется по эллипсу. 2. Понятие скорости точки
Скорость точки является характеристикой быстроты и направления ее движения.
Пусть точка M (рис. 3, а) движется по криволинейной траектории согласно закону ![]() Рис. 3
Отношение приращения дуговой координаты ![]()
Очевидно, что, чем меньше промежуток времени Δt, тем ближе значение ![]() Итак, величина скорости точки равна производной от расстояния (дуговой координаты) по времени. Следовательно, она измеряется в единицах длины, отнесенных к единице времени (м/с, см/с). Формула (5) определяет величину скорости точки.
Чтобы знать не только величину скорости, но и ее направление, введем понятие вектора скорости. Для этого будем определять движение в векторной форме (2). В момент времени t положение точки M (рис. 3, б) определяется радиусом-вектором
Отношение приращения радиуса-вектора ![]()
Направление вектора ![]()
Из равенства (7) следует, что вектор Итак, вектор скорости точки равен производной от радиуса-вектора по времени. Равенство (7) можно представить в виде ![]()
Вектор ![]()
Отсюда следует, что определенная равенством (5) алгебраическая величина 3. Определение скорости при координатном способе задания движения
Пусть движение точки задано уравнениями движения в прямоугольных декартовых координатах: ![]() Так как ![]() то на основании равенства (7) получим ![]()
При дифференцировании принимается во внимание, что единичные векторы ![]() ![]() Рис. 4 Таким образом, проекции вектора скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль скорости (рис. 4, а) вычисляется по формуле ![]() Направление вектора скорости определяется следующим образом: ![]() Пример 2. Движение точки задано уравнениями: ![]()
(t, c; x и y, см). Определить величину и направление скорости при Решение. Находим проекции вектора скорости на координатные оси: ![]() Определяем модуль вектора скорости ![]() и его направление ![]() 4. Понятие ускорения точки
Ускорение точки характеризует быстроту изменения ее скорости. Положим, что точка движется по криволинейной траектории (рис. 4, б). В момент времени t она занимает положение M и имеет скорость v. В момент времени
Отношение приращения вектора скорости ![]() Рассмотрим предел выражения (11) при приближении Δt к нулю. Получим истинное ускорение точки в момент времени t, т. е. в положении M, ![]() Таким образом, вектор ускорения равен первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиуса-вектора по времени.
Заметим, что вектор 5. Определение ускорения при координатном способе задания движения
При определении ускорения в случае задания движения в прямоугольных координатах, т. е. в виде ![]() последовательность операций аналогична действиям, описанным в разделе 3. Сначала найдем проекции вектора ускорения на координатные оси: ![]() Проекции ускорения точки на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат по времени или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси. Модуль ускорения определяется по формуле ![]() Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами: ![]() 6. Разложение вектора ускорения по естественным осям траектории
Проведем в точке M кривой AB соприкасающуюся плоскость (рис. 5, а), определение которой дано в разделе 4, и плоскость, перпендикулярную к касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой. Прямая, перпендикулярная к главной нормали и касательной, называется бинормалью. ![]() Рис. 5
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные оси: касательную, направленную в сторону возрастания дуговой координаты; главную нормаль, направленную в сторону вогнутости кривой; бинормаль, направленную по отношению к двум другим осям подобно тому, как ось Oz направлена по отношению к осям Ox и Oy. Эти три оси называются естественными осями кривой. Единичные векторы этих осей принято обозначать соответственно Из курса высшей математики известно, что угол поворота касательной при переходе точки из одного положения в другое называется углом смежности. Предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты Δs, когда она стремится к нулю, называется кривизной k кривой в точке M ![]() Величина ρ, обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны: ![]()
Представим вектор скорости ![]()
Величина единичного вектора ![]()
Выясним, чему равна производная ![]() ![]() Следовательно, ![]()
Из рис. 5, б видно, что угол, образованный вектором Значит, ![]() и равенство (18) примет вид ![]()
Первое слагаемое суммы (19) называется касательным ускорением точки ![]() Проекции ускорения на касательную и главную нормаль соответственно равны: ![]() ![]() Проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю.
При равномерном движении, когда численное значение скорости и постоянно, касательное ускорение Обе составляющие ускорения Обращаются в нуль только При равномерном и прямолинейном движении. Модуль полного ускорения точки определяется через ее касательное и нормальное ускорения ![]()
Неравномерное движение точки называется ускоренным, если модуль скорости возрастает, и замедленным - в противоположном случае. Легко доказать, что движение является ускоренным, если знаки величин 7. Равнопеременное движение
Движение называется равнопеременным в том случае, если касательное ускорение постоянно, т. е. ![]() откуда ![]()
Интегрируя последнее выражение и имея в виду, что при ![]()
формула (25) определяет скорость равнопеременного движения. Подставляем в нее значение ![]() Выражение (26) называют уравнением равнопеременного движения точки по траектории. Пример 3. Движение точки задано уравнениями: ![]()
(t, c; x и y, см). Определить величину и направление ускорения при Решение. Находим проекции ускорения на координатные оси: ![]() Определяем модуль вектора ускорения ![]() и его направление ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
![]() |
|||
© RAILWAY-TRANSPORT.RU, 2010-2019
При использовании материалов сайта активная ссылка обязательна: http://railway-transport.ru/ 'Железнодорожный транспорт' |