IV. Сложное (составное) движение точки

Сложным движением точки называется такое ее движение, при котором она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой, принятой за неподвижную (рис. 14).

Рис. 14

Уравнение движения точки, находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

где - радиус-вектор точки M, определяющий ее положение относительно неподвижной системы отсчета

- радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной системы координат

- радиус-вектор рассматриваемой точки M, определяющий ее положение относительно подвижной системы координат.

Во все время движения точки M эти радиусы-векторы связаны зависимостью (67), которая и является векторным способом задания движения точки, находящейся в сложном движении.

Для вычисления скорости точки, находящейся в сложном движении, продифференцируем ее радиус-вектор, определяемый зависимостью (67),

где - вектор скорости рассматриваемой точки относительно неподвижной системы отсчета называемый абсолютной скоростью точки M;

- вектор скорости начала подвижной системы относительно неподвижной системы отсчета.

Производная может быть вычислена на основании теоремы об абсолютной производной заданного в подвижной системе координат вектора, согласно которой абсолютная производная (т. е. производная, взятая в неподвижной системе координат) равна геометрической сумме относительной производной вектора, взятой в подвижной системе координат, и векторного произведения угловой скорости подвижной системы отсчета на дифференцируемый вектор

Здесь - скорость рассматриваемой точки, обусловленная движением подвижной системы отсчета;

- скорость рассматриваемой точки относительно подвижной системы отсчета, называемая относительной скоростью.

Итак,

Первых два слагаемых обусловлены движением подвижной системы отсчета - переносным движением. Эта сумма называемся переносной скоростью и обозначается

Следовательно,

или

т. е. абсолютная скорость точки, находящейся в сложном движении, равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Для вычисления ускорения точки, находящейся в сложном движении, продифференцируем ее вектор скорости, определяемый зависимостью (69),

Применив теорему об абсолютной производной к векторам получим

Перепишем равенство (71):

или

где - абсолютное ускорение точки, находящейся в сложном движении.

Сумма называется переносным ускорением, так как при отсутствии переносного движения и вся сумма равна нулю.

Два предпоследних слагаемых

обусловлены наличием переносного вращательного движения с угловой и относительной скоростями. Это ускорение называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса и обозначается

Наконец, производная от вектора относительной скорости в предположении, что переносное движение отсутствует, называется относительным ускорением и обозначается

Равенство (73) запишется в виде

которое и выражает теорему Кориолиса: в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

В случае поступательного переносного движения и ускорение Кориолиса будет равно нулю, поэтому

т. е. в случае поступательного переносного

движения абсолютное ускорение точкой равно векторной; сумме переносного и относительного ускорений.

Модуль ускорения Кориолиса определяется как модуль векторного произведения двух векторов

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

1. если т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;
2. если т. е. в случае относительного покоя точки или в моменты обращения в нуль относительной скорости точки;
3. если т. е. в случае, когда вектор относительной скорости точки параллелен вектору угловой скорости переносного движения как, например, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающегося вокруг своей оси.

Вектор ускорения Кориюлиса направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы относительной и "угловой скоростей переносного движения, в сторону, откуда виден поворот вектора к вектору скорости на меньший угол против хода часовой стрелки (рис. 15).

Рис. 15

Пример 6. Точка M (рис. 16) движется равномерно по меридиану с относительной скоростью Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки на широте φ, считая угловую скорость Земли постоянной.

Рис. 16

Решение. За переносное движение примем вращение Земли вокруг своей оси с угловой скоростью , а за относительное движение точки M - движение ее по меридиану (по окружности радиуса R). Точка M находится в сложном движении, поэтому вектор абсолютной скорости ее

Для вычисления вектора переносной скорости мысленно остановим движение точки и вычислим скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

По модулю она равна:

и направлена, как указано на рис. 16.

Вектор абсолютной скорости будет направлен, по диагонали параллелограмма, построенного на векторах относительной и переносной скоростей.

Вектор абсолютного ускорения определится согласно теореме Кориолиса

где - вектор переносного ускорения, направленный по радиусу параллели к оси вращения Земли и по модулю равный:

Вектор относительного ускорения , вычисляется в предположении, что отсутствует вращение Земли. По модулю он равен: так как точка движется по окружности (меридиану) радиуса R и направлена по радиусу к центру Земли.

Вектор ускорения Кориолиса согласно формуле (74)

или по модулю

и направлен по касательной к параллели; так как он должен быть перпендикулярен к векторам

Для определения модуля ускорения рассматриваемой точки найдем проекции векторов, стоящих в левой и правой частях формулы (75), на декартовы оси:

Следовательно, зная проекции абсолютного ускорения, по известной формуле

вычислим величину ускорения в данной задаче